Альтернатива методам середніх та найменших квадратів, які використовуються при обробці результатів науково-технічних експериментів
Loading...
Date
2023
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Український державний університет науки і технологій, ННІ ≪Інститут промислових та бізнес технологій≫, ІВК ≪Системні технології≫, Дніпро
Abstract
UKR: Збільшення складності і розмірів систем різної природи вимагає постійного удосконалення моделювання і перевірки отриманих результатів шляхом експерименту. Чітко провести кожний експеримент, об’єктивно оцінити відомості про досліджуваний процес і поширити матеріал, отриманий в одному дослідженні, на серію інших досліджень можна тільки при правильній їхній постановці й обробці. На основі експериментальних даних підбирають алгебраїчні вирази, які називають емпіричними формулами, що використовують якщо аналітичній вираз деякої функції - складній, або не існує на даному етапі опису об’єкту, системи або явища. При підборі емпіричних формул широко використовують поліноми вигляду: у = А0 + А1х+ А2х2 + А3х3 +…+ Аnхn, якими можна апроксимувати будь-які результати вимірів, якщо вони виражаються безперервними функціями. Особливо цінним є те, що навіть при невідомому точному виразі рішення (поліному) можна визначити значення коефіцієнтів Аn за допомогою методів середніх й найменших квадратів. Але у методі найменших квадратів спостерігається зсув оцінок при збільшенні шумів у находжених даних так як сказується вплив шумів попередніх етапів обробки інформації. Тому для процедур обробки інформації у реальному масштабі часу пропонується операція псевдозвороту, яка виконується за допомогою рекурентних формул. Ця процедура є процедурою послідовного обновлення (зі зсувом) по стовбцям матриці заданих розмірів та і псевдозвороту на кожному кроці зміни інформації. Цей підхід є прямим та використовує переваги, властиві методу облямівки. При псевдозвороті мається можливість контролювати правильність обчислень на кожному кроці, використовуючи умови Пенроуза. Необхідність псевдозвороту може виникнути при оптимізації, прогнозуванні тих чи інших параметрів та характеристик систем різного призначення, в різноманітних задачах лінійної алгебри, статистики, представленні структури одержаних рішень, зрозуміти зміст некоректності рішення, що виникає, в сенсі Адомара-Тихонова і побачити шляхи регулярізації таких рішень.
ENG: Increasing the complexity and size of systems of various nature requires constant improvement of modeling and verification of the obtained results by experiment. It is possible to clearly conduct each experiment, objectively evaluate the summaries of the researched process, and spread the material obtained in one study to a series of other studies only if they are correctly set up and processed. On the basis of experimental data, algebraic expressions are selected, which are called empirical formulas, which are used if the analytical expression of some function is complex or does not exist at this stage of the description of the object, system or phenomenon. When selecting empirical formulas, polynomials of the form: у = А0 + А1х+ А2х2+ А3х3+…+ Аnхn are widely used, which can be used to approximate any measurement results if they are expressed as continuous functions. It is especially valuable that even if the exact expression of the solution (polynomial) is unknown, it is possible to determine the value of the coefficients An using the methods of mean and least squares. But in the method of least squares, there is a shift in estimates when the noise in the data is increased, as it is affected by the noise of the previous stages of information processing. Therefore, for real-time information processing procedures, a pseudo-reverse operation is proposed, which is performed using recurrent formulas. This procedure is a procedure of successive updating (with a shift) along the columns of the matrix of given sizes and pseudo-reversal at each step of information change. This approach is straightforward and takes advantage of the bounding method. With pseudo-inversion, it is possible to control the correctness of calculations at each step, using Penrose conditions. The need for pseudo-inversion may arise during optimization, forecasting of certain parameters and characteristics of systems of various purposes, in various problems of linear algebra, statistics, presentation of the structure of the obtained solutions, to understand the content of the incorrectness of the resulting solution, in the sense of Adomar-Tikhonov, and to see the ways of regularization of such solutions.
ENG: Increasing the complexity and size of systems of various nature requires constant improvement of modeling and verification of the obtained results by experiment. It is possible to clearly conduct each experiment, objectively evaluate the summaries of the researched process, and spread the material obtained in one study to a series of other studies only if they are correctly set up and processed. On the basis of experimental data, algebraic expressions are selected, which are called empirical formulas, which are used if the analytical expression of some function is complex or does not exist at this stage of the description of the object, system or phenomenon. When selecting empirical formulas, polynomials of the form: у = А0 + А1х+ А2х2+ А3х3+…+ Аnхn are widely used, which can be used to approximate any measurement results if they are expressed as continuous functions. It is especially valuable that even if the exact expression of the solution (polynomial) is unknown, it is possible to determine the value of the coefficients An using the methods of mean and least squares. But in the method of least squares, there is a shift in estimates when the noise in the data is increased, as it is affected by the noise of the previous stages of information processing. Therefore, for real-time information processing procedures, a pseudo-reverse operation is proposed, which is performed using recurrent formulas. This procedure is a procedure of successive updating (with a shift) along the columns of the matrix of given sizes and pseudo-reversal at each step of information change. This approach is straightforward and takes advantage of the bounding method. With pseudo-inversion, it is possible to control the correctness of calculations at each step, using Penrose conditions. The need for pseudo-inversion may arise during optimization, forecasting of certain parameters and characteristics of systems of various purposes, in various problems of linear algebra, statistics, presentation of the structure of the obtained solutions, to understand the content of the incorrectness of the resulting solution, in the sense of Adomar-Tikhonov, and to see the ways of regularization of such solutions.
Description
Т. Карпова: ORCID 0000-0002-9633-7876; Т. Хохлова: ORCID 0000-0002-6683-4572
Keywords
метод середніх і найменших квадратів, емпіричні формули, псевдозворот, експериментальні дані, апроксимуючі поліноми, method of mean and least squares, empirical formulas, pseudo reversal, experimental data, approximating polynomials, КМТОМ
Citation
Ігнаткін В. У., Дудніков В. С., Лучишин Т. Р., Алексєєнко С. В., Юшкевич О. П., Карпова Т. П., Хохлова Т. С., Хомош Ю. С., Тіхонов В. А. Альтернатива методам середніх та найменших квадратів, які використовуються при обробці результатів науково-технічних експериментів. Системні технології. Дніпро, 2023. Т. 4, № 147. С. 35–48. DOI: 10.34185/1562-9945-4-147-2023-04.