Lyapunov Function in the Hyper-Complex Phase Space
Loading...
Date
2022
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Springer, Singapore
Abstract
ENG: The paper deals with the development of background for defining Lyapunov functions for a wide range of linear dynamical objects. This background is based on assuming that the Lyapunov function is redundant energy in the considered object, and this energy is dissipated only during controlled motion. We assume the full derivative of the Lyapunov function for an autonomous motion of the control objects equals zero, and we use its summands to define linear algebraic equations. The solution of these equations allows us to find unknown terms of the Lyapunov function. The use of these terms, while the Lyapunov equation is being written down, shows that the left-hand expression in the Lyapunov equation is equal to the zero matrix. Thus, we avoid subjective assuming of quadratic form terms in the right-hand of the Lyapunov equation. We extend the proposed approach to the class dynamical system with uncertainty. This extension is performed by using interval methods, which allow defining object motions for minimal and maximal values of parameters. We show that for the control object, which parameters are not exactly known, one should consider two equations of object motions, which correspond to its trajectories on the boundaries of the intervals. Lyapunov functions are defined for these boundary trajectories. Since such an approach increases the number of the considered equations, we offer to decrease them by using hyper-complex numbers while object equations are written down.
UKR: Стаття присвячена розробці фону для визначення функцій Ляпунова для широкого кола лінійних динамічних об'єктів. Цей фон заснований на припущенні, що функція Ляпунова є надлишковою енергією в розглянутому об'єкті, і ця енергія розсіюється лише під час керованого руху. Вважаємо, що повна похідна функції Ляпунова для автономного руху об'єктів керування дорівнює нулю, а за її доданками ми визначаємо лінійні алгебраїчні рівняння. Розв’язання цих рівнянь дозволяє знайти невідомі доданки функції Ляпунова. Використання цих доданків під час запису рівняння Ляпунова показує, що лівий вираз у рівнянні Ляпунова дорівнює нульовій матриці. Таким чином, ми уникаємо суб'єктивного припущення доданків квадратичної форми в правій частині рівняння Ляпунова. Розширюємо запропонований підхід на класову динамічну систему з невизначеністю. Це розширення здійснюється за допомогою інтервальних методів, які дозволяють визначити рух об'єкта для мінімальних і максимальних значень параметрів. Показано, що для об'єкта керування, параметри якого точно не відомі, слід розглянути два рівняння руху об'єкта, які відповідають його траєкторіям на кордонах інтервалів. Для цих граничних траєкторій визначено функції Ляпунова. Оскільки такий підхід збільшує кількість розглянутих рівнянь, ми пропонуємо зменшити їх за допомогою гіперкомплексних чисел під час запису об’єктних рівнянь.
UKR: Стаття присвячена розробці фону для визначення функцій Ляпунова для широкого кола лінійних динамічних об'єктів. Цей фон заснований на припущенні, що функція Ляпунова є надлишковою енергією в розглянутому об'єкті, і ця енергія розсіюється лише під час керованого руху. Вважаємо, що повна похідна функції Ляпунова для автономного руху об'єктів керування дорівнює нулю, а за її доданками ми визначаємо лінійні алгебраїчні рівняння. Розв’язання цих рівнянь дозволяє знайти невідомі доданки функції Ляпунова. Використання цих доданків під час запису рівняння Ляпунова показує, що лівий вираз у рівнянні Ляпунова дорівнює нульовій матриці. Таким чином, ми уникаємо суб'єктивного припущення доданків квадратичної форми в правій частині рівняння Ляпунова. Розширюємо запропонований підхід на класову динамічну систему з невизначеністю. Це розширення здійснюється за допомогою інтервальних методів, які дозволяють визначити рух об'єкта для мінімальних і максимальних значень параметрів. Показано, що для об'єкта керування, параметри якого точно не відомі, слід розглянути два рівняння руху об'єкта, які відповідають його траєкторіям на кордонах інтервалів. Для цих граничних траєкторій визначено функції Ляпунова. Оскільки такий підхід збільшує кількість розглянутих рівнянь, ми пропонуємо зменшити їх за допомогою гіперкомплексних чисел під час запису об’єктних рівнянь.
Description
Vit. Kuznetsov: ORCID 0000-0002-8169-4598; Ye. Kuznetsova: ORCID 0000-0003-2224-8747
Keywords
hyper-complex domain, Lyapunov function, uncertain parameters, гіперкомплексна область, функція Ляпунова, невизначені параметри, КЕЛІ
Citation
Voliansky R., Volianska N., Kuznetsov Val., Sadovoi A., Kuznetsov Vit., Kuznetsova Ye., Ostapchuk O. Lyapunov Function in the Hyper-Complex Phase Space. Lecture Notes in Networks and Systems. Vol. 870 : Control Applications in Modern Power Systems. 2022. P. 537–553. DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-19-0193-5_42.