Производная функции множества по мере и её применение (теоретические основы инвестиционных задач)
Loading...
Files
Date
2014
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна, Дніпропетровськ
Abstract
RU: Цель. В работе необходимо разработать теоретические основы для решения инвестиционных задач, представленных в виде функций множества как задач векторной оптимизации или задач на условный экстремум. Методика. В качестве исследования инвестиционных задач используются функции множества и их производные по мере. Доказывается необходимое условие минимума функции множества. В задачах на условный экстремум используется метод Лагранжа. Показано, что этот метод применим и для функций множества. Для доказательства используется мера, обобщающая меру А. Лебега, и вводится понятие предела последовательности множеств. Отмечается, что введенный предел по мере совпадает с классическим пределом по Э. Борелю и может быть использован при доказательстве существования производной от функции множества по мере на сходящейся последовательности множеств. Результаты. Предложен алгоритм решения инвестиционной задачи на условный экстремум применительно к задачам инвестирования. Научная новизна. Научная новизна состоит в том, что в многовариантных задачах на условный экстремум от непосредственного перебора можно отказаться, а использовать предлагаемый алгоритм построения (отбора) вариантов, которые позволяют строить выпуклую линейную огибающую решения по Парето. Данная огибающая позволяет лицу, принимающему решения (ЛПР), выбрать такие варианты, которые «лучше» с его позиции, и учитывать некоторые критерии, формализация которых затруднена или они не могут быть описаны в математических терминах. Практическая значимость. Результаты исследования дают необходимое теоретическое обоснование принятия решений в инвестиционных задачах, когда объектов инвестирования значительное число и непосредственный перебор вариантов весьма затруднителен по затратам времени даже для современной вычислительной техники.
UK: Мета. У роботі необхідно розробити теоретичні основи для вирішення інвестиційних завдань, представлених у вигляді функцій множини як задач векторної оптимізації або завдань на умовний екстремум. Методика. В якості дослідження інвестиційних задач використовуються функції множини та їх похідні за мірою. Доводиться необхідна умова мінімуму функції множини. У завданнях на умовний екстремум використовується метод Лагранжа. Показано, що цей метод можна застосовувати й для функцій множини. Для доказу використовується міра, узагальнююча міру А. Лебега, і вводиться поняття межі послідовності безлічі множин. Відзначається, що введена межа за мірою збігається з класичною межею за Е. Борелем та може бути використана при доведенні існування похідної від функції множини за мірою, що сходиться на послідовності множин. Результати. Запропоновано алгоритм розв’язання інвестиційної задачі на умовний екстремум стосовно завдань інвестування. Наукова новизна. Наукова новизна полягає в тому, що в багатоваріантних задачах на умовний екстремум від безпосереднього перебору можна відмовитись, а використовувати запропонований алгоритм побудови (відбору) варіантів, який дозволяє будувати опуклу лінійну огинаючу рішення за Парето. Дана огинаюча дозволяє особі, яка приймає рішення (ОПР), вибрати такі варіанти, які «краще» з його позиції і враховувати деякі критерії, формалізація яких ускладнена або вони не можуть бути описані в математичних термінах. Практична значимість. Результати дослідження дають необхідне теоретичне обґрунтування прийняття рішень в інвестиційних завданнях, коли об'єктів інвестування значна кількість і безпосередній перебір варіантів вельми скрутний за витратами часу навіть для сучасної обчислювальної техніки.
EN: Purpose. It is necessary to develop the theoretical fundamentals for solving the investment objectives presented in the form of set function as vector optimization tasks or tasks of constrained extremum. Methodology. Set functions and their derivatives of measure are used as research of investment objectives. Necessary condition of set function minimum is proved. In the tasks for constrained extremum the method of Lagrange is used. It is shown that this method can also be used for the set function. It is used the measure for proof, which generalizes the Lebesgue measure, and the concept of set sequence limit is introduced. It is noted that the introduced limit over a measure coincides with the classical Borel limit and can be used in order to prove the existence of derivative from set function over a measure on convergent of sets sequence. Findings. An algorithm of solving the investment objective for constrained extremum in relation to investment objectives was offered. Originality. Scientific novelty lies in the fact that in multivariate objects for constrained extremum one can refuse from immediate enumeration. One can use the proposed algorithm of constructing (selection) of options that allow building a convex linear envelope of Pareto solutions. This envelope will let the person who makes a decision (DM), select those options that are "better" from a position of DM, and consider some of the criteria, the formalization of which are difficult or can not be described in mathematical terms. Practical value. Results of the study provide the necessary theoretical substantiation of decision-making in investment objectives, when there is a significant number of an investment objects and immediate enumeration of options is very difficult on time costs even for modern computing techniques.
UK: Мета. У роботі необхідно розробити теоретичні основи для вирішення інвестиційних завдань, представлених у вигляді функцій множини як задач векторної оптимізації або завдань на умовний екстремум. Методика. В якості дослідження інвестиційних задач використовуються функції множини та їх похідні за мірою. Доводиться необхідна умова мінімуму функції множини. У завданнях на умовний екстремум використовується метод Лагранжа. Показано, що цей метод можна застосовувати й для функцій множини. Для доказу використовується міра, узагальнююча міру А. Лебега, і вводиться поняття межі послідовності безлічі множин. Відзначається, що введена межа за мірою збігається з класичною межею за Е. Борелем та може бути використана при доведенні існування похідної від функції множини за мірою, що сходиться на послідовності множин. Результати. Запропоновано алгоритм розв’язання інвестиційної задачі на умовний екстремум стосовно завдань інвестування. Наукова новизна. Наукова новизна полягає в тому, що в багатоваріантних задачах на умовний екстремум від безпосереднього перебору можна відмовитись, а використовувати запропонований алгоритм побудови (відбору) варіантів, який дозволяє будувати опуклу лінійну огинаючу рішення за Парето. Дана огинаюча дозволяє особі, яка приймає рішення (ОПР), вибрати такі варіанти, які «краще» з його позиції і враховувати деякі критерії, формалізація яких ускладнена або вони не можуть бути описані в математичних термінах. Практична значимість. Результати дослідження дають необхідне теоретичне обґрунтування прийняття рішень в інвестиційних завданнях, коли об'єктів інвестування значна кількість і безпосередній перебір варіантів вельми скрутний за витратами часу навіть для сучасної обчислювальної техніки.
EN: Purpose. It is necessary to develop the theoretical fundamentals for solving the investment objectives presented in the form of set function as vector optimization tasks or tasks of constrained extremum. Methodology. Set functions and their derivatives of measure are used as research of investment objectives. Necessary condition of set function minimum is proved. In the tasks for constrained extremum the method of Lagrange is used. It is shown that this method can also be used for the set function. It is used the measure for proof, which generalizes the Lebesgue measure, and the concept of set sequence limit is introduced. It is noted that the introduced limit over a measure coincides with the classical Borel limit and can be used in order to prove the existence of derivative from set function over a measure on convergent of sets sequence. Findings. An algorithm of solving the investment objective for constrained extremum in relation to investment objectives was offered. Originality. Scientific novelty lies in the fact that in multivariate objects for constrained extremum one can refuse from immediate enumeration. One can use the proposed algorithm of constructing (selection) of options that allow building a convex linear envelope of Pareto solutions. This envelope will let the person who makes a decision (DM), select those options that are "better" from a position of DM, and consider some of the criteria, the formalization of which are difficult or can not be described in mathematical terms. Practical value. Results of the study provide the necessary theoretical substantiation of decision-making in investment objectives, when there is a significant number of an investment objects and immediate enumeration of options is very difficult on time costs even for modern computing techniques.
Description
А. Босов: ORCID 0000-0002-5348-2205, П. Лоза:
ORCID 0000-0002-6698-5629
Keywords
алгебра множеств, функции множества по мере, производные функции множества по мере, пределы последовательности множеств, алгебра множин, функції множини за мірою, похідні функції множини за мірою, межі послідовності множин, algebra of sets, set function over a measure, derivative set function over a measure, sets sequence limit, КПМ, КЕРС
Citation
Босов, А. А. Производная функции множества по мере и ее применение (теоретические основы инвестиционных задач) / А. А. Босов, П. А. Лоза // Наука та прогрес транспорту. Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – 2014. – № 3 (51). – С. 92 –99. – doi:10.15802/stp2014/25870.