Кратные модули непрерывности и наилучшие приближения периодических функций в метрических пространствах

Abstract

RU: Доказано, что при условии Mψ(1/2)<1, где M - функция растяжения Ψ в пространстве Lψ справедливы неравенства Джексона

sup/n sup/ ƒ∈ Lψ, ƒ≠const (En-1 (ƒ)ψ) / (ωκ (ƒ,π/n)ψ) <∞, где En-1 (ƒ)ψ – наилучшее приближение ƒ тригонометрическими полиномами степени не выше n-1, ωκ (ƒ, һ) ѱ – модуль непрерывности ƒ порядка k, k ∈ N. Исследуются необходимые и достаточные условия на функцию ƒ для выполнения соотношения En-1(ƒ)ψ≍ ωκ (ƒ,π/n)ψ.

UK: Доведено, що умови Mψ(1/2)<1, де Mψ функція розтягування Ψ в просторі Lψ справедливі нерівності Джексона

sup/n sup /ƒ∈ Lψ, ƒ≠const (En-1(ƒ)ψ/ωκ (ƒ,π/n)ψ ) <∞, де En-1 (ƒ)ψ– найкраще наближення ƒ тригонометричними поліномами ступеня не вище n-1, ωκ (ƒ, һ) ѱ – модуль безперервності ƒ близько k, k ∈ N. Досліджуються необхідні і достатні умови на функцію ƒ для виконання співвідношення En-1(ƒ)ψ≍ ωκ (ƒ,π/n)ψ.

EN: It is proved that under the condition Mψ(1/2)<1, where Mψ is the stretch function Ψ in the space LΨ, Jackson inequalities

sup/n sup /ƒ∈ Lψ ,ƒ≠const (En-1 (ƒ)ψ)/ωκ (ƒ,π/n)ψ ) <∞, Where En-1 (ƒ)ψ is the best approximation of ƒ by trigonometric polinomials of degree at most n-1, ωκ (ƒ, һ) ѱ is the modulus of continuity of ƒ order k, k ∈ N. We study necessary and sufficient coditions on the function ƒ to satisfy the relation En-1 (ƒ)ψ≍ ωκ(ƒ,π/n)ψ.