Please use this identifier to cite or link to this item: http://eadnurt.diit.edu.ua/jspui/handle/123456789/10930
Title: Stability of Motion of Railway Vehicles Described with Lagrange Equations of the First Kind
Other Titles: Стійкість руху залізничних екіпажів, який описують рівняння лагранжа i роду
Устойчивость движения железнодорожных экипажей, описываемого уравнениями лагранжа i рода
Authors: Reidemeister, Alexey G.
Levytska, Svitlana І.
Keywords: railway vehicle
motion stability
differential-algebraic equations
залізничний екіпаж
стійкість руху
диференційно-алгебраїчні рівняння
железнодорожный экипаж
устойчивость движения
дифференциально-алгебраическе уравнения
КВВГ
Issue Date: 2018
Publisher: Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту ім. акад. В. Лазаряна
Citation: Reidemeister, A. G. Stability of motion of railway vehicles described with lagrange equations of the first kind / A. G. Reidemeister, S. I. Levytska // Наука та прогрес транспорту. – 2018. – № 5. – С. 93–103. – DOI: 10.15802/stp2018/148023.
Abstract: EN: Purpose. The article aims to estimate the stability of the railway vehicle motion, whose oscillations are described by Lagrange equations of the first kind under the assumption that there are no nonlinearities with discontinuities of the righthand sides. Methodology. The study is based on the Lyapunov’s stability method of linear approximation. The equations of motion are compiled in a matrix form. The creep forces are calculated in accordance with the Kalker linear theory. Sequential differentiations of the constraint equations reduced the equation system index from 2 to 0. The coefficient matrix eigenvalues of the system obtained in such a way are found by means of the QR-algorithm. In accordance with Lyapunov's criterion of stability in the linear approximation, the motion is stable if the real part of all eigenvalues is negative. The presence of «superfluous» degrees of freedom, which the mechanical system does not have (in whose motion equations there are left only independent coordinates) is not trivial. Herewith the eigenvalues and eigenvectors correspond to these degrees of freedom and have no relation to the stability. In order to find a rule that allows excluding them, we considered several models of a bogie, with rigid and elastic constraints of high rigidity at the nodes. In the limiting case of high rigidities, the results for a system without rigid constraints must coincide with the results for a system with rigid constraints. Findings. We carried out the analysis and compared the frequencies (with decrements) and the vibration modes of a threepiece bogie with and without constraints. When analysing the stability of the system with constraints, only those eigenvalues are of interest whose eigenvectors do not break the constraints. The values of these numbers are limits for the eigenvalues of the system, in which rigid constraints are replaced by elastic elements of high rigidity, which allows us to leave the Lyapunov’s criterion unchanged. Originality consists in the adaptation of Lyapunov's stability method of linear approximation to the case when the equations of railway vehicle motion are written in the form of differential-algebraic Lagrange equations of the first kind. Practical value. This written form of the equation of motion makes it possible to simplify the stability study by avoiding the selection of a set of independent generalized coordinates with the subsequent elimination of dependent ones and allows for the coefficient matrix calculation in an easily algorithmized way. Information on the vehicle stability is vitally important, since the truck design must necessarily exclude the loss of stability in the operational speed range.
UK: Мета. У статті необхідно оцінити стійкість руху залізничних екіпажів, коливання яких описані рівняннями Лагранжа I роду, в припущенні, що відсутні нелінійності з розривами правих частин. Методика. За основу прийнято метод дослідження стійкості руху Ляпунова за лінійним наближенням. Рівняння руху складено в матричній формі. Сили кріпа обчислені у відповідності з лінійної теорією Калкера. Послідовними диференціюваннями рівнянь зв’язків індекс системи рівнянь знижений з 2 до 0. Власні числа матриці коефіцієнтів отриманої таким чином системи знайдені за допомогою QR-алгоритму. Відповідно до критерію Ляпунова про стійкість за лінійним наближенням рух стійкий, якщо у всіх власних чисел дійсна частина негативна. Нетривіальним є наявність «зайвих» ступенів свободи, яких немає у механічної системи (в її рівняннях руху залишили тільки незалежні координати). Цим ступеням свободи відповідають власні числа і власні вектори, що не мають відношення до стійкості. Щоб знайти правило, що дозволяє їх виключити, ми розглянули кілька моделей візків, із жорсткими і пружними зв’язками великої жорсткості у вузлах. У граничному випадку великих жорсткостей результати для системи без жорстких зв’язків повинні співпасти з результатами для системи з жорсткими зв’язками. Результати. Проведено аналіз і зіставлені частоти (з декрементом) і форми коливань 3-елементного візка зі зв’язками і без них. При аналізі стійкості системи зі зв’язками становлять інтерес тільки ті власні числа, власні вектори яких не порушують зв’язків. Значення цих чисел є межами для власних чисел системи, в якій жорсткі зв’язки замінені пружними елементами великої жорсткості, що дозволяє залишити критерій Ляпунова незмінним. Наукова новизна полягає в адаптації методу дослідження стійкості руху Ляпунова за лінійним наближенням до випадку, коли рівняння руху залізничних екіпажів записані в формі диференційно-алгебраїчних рівнянь Лагранжа I роду. Практична значимість. Зазначена форма запису рівняння руху дозволяє спростити дослідження стійкості за рахунок відмови від виділення безлічі незалежних узагальнених координат із наступним виключенням залежних і допускає обчислення матриці коефіцієнтів легко алгоритмізованим способом. Інформація про стійкість екіпажів украй важлива, оскільки конструкція ходових частин повинна в обов’язковому порядку виключати втрату стійкості в експлуатаційному діапазоні швидкостей.
RU: Цель. В статье необходимо оценить устойчивость движения железнодорожных экипажей, колебания которых описаны уравнениями Лагранжа I рода, в предположении, что отсутствуют нелинейности с разрывами правых частей. Методика. За основу принят метод исследования устойчивости движения Ляпунова по линейному приближению. Уравнения движения составлены в матричной форме. Силы крипа вычислены в соответствии с линейной теорией Калкера. Последовательными дифференцированиями уравнений связей индекс системы уравнений понижен с 2 до 0. Собственные числа матрицы коэффициентов полученной таким образом системы найдены с помощью QR–алгоритма. В соответствии с критерием Ляпунова об устойчивости по линейному приближению движение устойчиво, если у всех собственных чисел действительная часть отрицательна. Нетривиальным является наличие «лишних» степеней свободы, которых нет у механической системы (в ее уравнениях движения оставили только независимые координаты). Этим степеням свободы соответствуют собственные числа и собственные векторы, к устойчивости отношения не имеющие. Чтобы найти правило, позволяющее их исключить, мы рассмотрели несколько моделей тележки, с жесткими и упругими связями большой жесткости в узлах. В предельном случае больших жесткостей результаты для системы без жестких связей должны совпасть с результатами для системы с жесткими связями. Результаты. Проведен анализ и сопоставлены частоты (с декрементами) и формы колебаний 3–элементной тележки со связями и без них. При анализе устойчивости системы со связями представляют интерес только те собственные числа, собственные векторы которых не нарушают связей. Значения этих чисел являются пределами для собственных чисел системы, в которой жесткие связи заменены упругими элементами большой жесткости, что позволяет оставить критерий Ляпунова неизменным. Научная новизна состоит в адаптации метода исследования устойчивости движения Ляпунова по линейному приближению к случаю, когда уравнения движения железнодорожных экипажей записаны в форме дифференциально-алгебраических уравнений Лагранжа I рода. Практическая значимость. Указанная форма записи уравнения движения позволяет упростить исследование устойчивости за счет отказа от выделения множества независимых обобщенных координат с последующим исключением зависимых и допускает вычисление матрицы коэффициентов легко алгоритмизируемым способом. Информация об устойчивости экипажей крайне важна, поскольку конструкция ходовых частей должна в обязательном порядке исключать потерю устойчивости в эксплуатационном диапазоне скоростей.
Description: A. Reidemeister: ORCID 0000-0001-7490-7180
URI: http://eadnurt.diit.edu.ua/jspui/handle/123456789/10930
http://stp.diit.edu.ua/article/view/148023
http://stp.diit.edu.ua/article/view/148023/149013
Other Identifiers: DOI: 10.15802/stp2018/148023
Appears in Collections:Статті КВВГ
№ 5 (77)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Reidemeister.pdf1,44 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.